Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AC > AB} \right)\), có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng: a) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$ b) \(BD = DE\)

Lời giải chi tiết

a) Vì FD vuông góc với CB tại D nên \(\widehat {FDB} = \widehat {EDC} = {90^0}\).Tam giác FBD và tam giác CED có:\(\widehat {FDB} = \widehat {EDC} = {90^0}\), \(\widehat F = \widehat C\left( { = {{90}^0} - \widehat B} \right)\)Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta EDC\left( g-g \right)$b)  Tam giác ABC và tam giác DEC có:\(\widehat {BAC} = \widehat {EDC} = {90^0},\widehat C\;chung\)Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta DEC\left( g-g \right)$. Suy ra, \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DC}}\)Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BD}}\)Do đó: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BD}}\). Suy ra \(BD = DE\)