Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Biết \(AB = 3cm,AC = 4cm,\) hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH. b) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) nên \(BC = 5cm\)Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên \(AH \bot BC\).Do đó, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)Tam giác ABC và tam giác HAC có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat C\) chungDo đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( g-g \right)$Suy ra: \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\left( {cm} \right)\)Do đó, \(BH = BC - CH = 5 - \frac{{16}}{5} = \frac{9}{5}\left( {cm} \right)\)Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( cmt \right)$ nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)Do đó, \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = \frac{{12}}{5}\left( {cm} \right)\)b) Vì \(HM \bot AB \Rightarrow \widehat {HMA} = {90^0}\), \(HN \bot AC \Rightarrow \widehat {HNA} = {90^0}\)Tứ giác ANHM có: \(\widehat {HMA} = \widehat {NAM} = \widehat {HNA} = {90^0}\) nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {NHM} = {90^0}\) Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên \(DH = DM\). Do đó, tam giác DHM cân tại D.Suy ra, \(\widehat {DHM} = \widehat {DMH}\)Lại có: \(\widehat {DHM} = \widehat B\left( { = {{90}^0} - \widehat {MHB}} \right)\) nên \(\widehat {DMH} = \widehat B\)Tam giác HMN và ABC có: \(\widehat {NHM} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat {DMH} = \widehat B\left( {cmt} \right)\)Do đó, $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$(g – g)