Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng \(AM.AB = AN.AC\).

Lời giải chi tiết

Vì \(\widehat {AMH} = \widehat {ANH} = {90^o}\) nên tam giác AMH vuông tại M và tam giác ANH vuông tại N. Suy ra, hai tam giác AMH, ANH nội tiếp đường tròn đường kính AH. Suy ra, tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH. Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\) (hai góc nội tiếp đường tròn đường kính AH cùng chắn cung AN). Ta có: \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN} = {90^o} - \widehat {HAN} = \widehat {ACB}\) Tam giác AMN và tam giác ACB có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\) (cmt), \(\widehat {MAN} = \widehat {CAB}\) (góc chung) nên $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left( g.g \right)$. Suy ra \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\), suy ra \(AM.AB = AN.AC\).