Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện là \(24c{m^2}\) và nội tiếp đường tròn có bán kính 5cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền nên \(BC = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2} = 100\). Vì tam giác ABC có diện là \(24c{m^2}\) nên: \(\frac{1}{2}AB.AC = 24\) hay \(AB.AC = 48\). Ta có: \({\left( {AB + AC} \right)^2} = A{B^2} + 2AB.AC + A{C^2} = 196\), suy ra \(AB + AC = 14cm\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó, r cũng là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, ABI. Ta có: \(S = {S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}} = \frac{1}{2}r\left( {AB + BC + CA} \right)\), suy ra: \(r = \frac{{2S}}{{AB + BC + AC}} = \frac{{48}}{{10 + 14}} = 2\left( {cm} \right).\)