Đề bài

ꦬCho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

♔a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

𝕴b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.

Lời giải chi tiết

 

a)• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\).Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = \(\frac{1}{2}\) AC.Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.Xét ∆ABM và ∆ACM có:AB = AC (chứng minh trên),AM là cạnh chung,MB = MC (do M là trung điểm của BC).Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng)Xét ∆AEG và ∆ADG có:AE = AD (chứng minh trên),\(\widehat {EAG} = \widehat {DAG}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),AG là cạnh chungDo đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).Suy ra \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\) (hai góc tương ứng).Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.• Ta có \(\widehat {BGM} = \widehat {AGD},\widehat {CGM} = \widehat {AGE}\) các cặp góc đối đỉnh)Mà \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\)Nên \(\widehat {BGM} = \widehat {CGM}\) Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.• Xét ∆AME và ∆AMD có:AE = AD (chứng minh trên),\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),AM là cạnh chung,Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).Suy ra \(\widehat {AME} = \widehat {AMD}\) (hai góc tương ứng)Nên MA là tia phân giác của góc EMD.Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.b) • Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {CAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\)Ta có AE = AD (chứng minh câu a)Nên tam giác AED cân tại ASuy ra \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\)Xét ∆ADE có \(\widehat {ADE} + \widehat {AE{\rm{D}}} + \widehat {DA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác) Mà \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\) nên \(\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\)Mà hai góc này ở vị trí đồng vịDo đó ED // BC.Nên \(\widehat {DEC} = \widehat {ECM}\) (hai góc so le trong)• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì \(\widehat {DEC} = \widehat {CEM}\)Suy ra \(\widehat {ECM} = \widehat {CEM}\) nên tam giác MEC cân tại M.Do đó ME = MCMặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.Suy ra tam giác EMB cân tại M nên \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\).• Xét ∆EBC có \(\widehat {BEC} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Hay \(\widehat {BEC} + \widehat {MCE} + \widehat {MBE} = 180^\circ \)Mà \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\) và \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\)Nên \(\widehat {BEC} + \widehat {MEC} + \widehat {MEB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BEC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \)Suy ra \(2\widehat {BEC} = 180^\circ \)Do đó \(\widehat {BEC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEC} = 90^\circ .\)• Xét ∆BEC và ∆AEC có:\(\widehat {BEC} = \widehat {AEC}\) (cùng bằng 90°),EC là cạnh chung,BE = AE (chứng minh câu a)Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).Suy ra BC = AC.Mà AB = AC (chứng minh câu a).Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.