Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat{CAB}=60^\circ\), AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh: a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA; b) EC = ED = EK.

Lời giải chi tiết

 

a) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°). Suy ra \(\widehat {CBA} = 90^\circ  - \widehat {CAB} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \). Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°). Suy ra \(\widehat {KEB} = 90^\circ  - \widehat {KBE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \). •Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên \(\widehat {CAE} = \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \). Tam giác ACE vuông tại C có \(\widehat {CEA} + \widehat {CAE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°). Suy ra \(\widehat {CEA} = 90^\circ  - \widehat {CAE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) Do đó \(\widehat {DEB} = \widehat {CEA} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh). Ta có \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK. •Ta có \(\widehat {KEA} + \widehat {KED} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Hay \(\widehat {KEA} + \widehat {KEB} + \widehat {BED} = 180^\circ \) Suy ra \(\widehat {KEA} = 180^\circ  - \widehat {KEB} - \widehat {BED} = 180^\circ  - 60^\circ  - 60^\circ  = 60^\circ \) Do đó \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) (cùng bằng 60°). Nên EK là tia phân giác của góc BEA. Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA. b) Xét ∆ACE và ∆AKE có: \(\widehat {ACE} = \widehat {AKE}\left( { = 90^\circ } \right)\) AE là cạnh chung, \(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (chứng minh câu a). Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆EKB và ∆EDB có: \(\widehat {EKB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\left( { = 90^\circ } \right)\) BE là cạnh chung, \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (chứng minh câu a) Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED. Vậy EC = ED = EK.