Đề bài

Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B. b) \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB}\). c) Điểm E cách đều AB, BC, CA. d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.

Lời giải chi tiết

 

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.• Xét ∆BNE và ∆BME có:\(\widehat {{\rm{BNE}}} = \widehat {BME}\left( { = 90^\circ } \right)\)EN = EM (giả thiết),BE là cạnh chungDo đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)Suy ra \(\widehat {{\rm{NBE}}} = \widehat {MBE}\) (hai góc tương ứng)Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.Do đó phát biểu a là sai.•Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{\rm{BAE}}} = \widehat {CAE}\)Xét DANE và DAPE có:\(\widehat {{\rm{ANE}}} = \widehat {APE}\left( { = 90^\circ } \right)\)AE là cạnh chung,\(\widehat {{\rm{NAE}}} = \widehat {PAE}\) (chứng minh trên).Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).Mà EN = EM (giả thiết)Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.Do đó phát biểu c là đúng.• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:\(\widehat {CPE} = \widehat {CME}\left( { = 90^\circ } \right)\)EP = EM (chứng mình trên),CE là cạnh chungDo đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy ra \(\widehat {{\rm{PCE}}} = \widehat {MCE}\) (hai góc tương ứng).Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.Do đó phát biểu d là đúng.• Do AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).Khi đó \(\widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} < \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \widehat {ECB}.\)Do đó phát biểu b là sai.Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.