Đề bài

Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52).

 

Chứng minh: a) Tam giác EIF là tam giác vuông; b) IA = IB.

Lời giải chi tiết

a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên \(\widehat {AEI} = \widehat {IEF} = \frac{1}{2}\widehat {AEF}\) Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFE} = \frac{1}{2}\widehat {BFE}\). Vì a // b nên \(\widehat {aEF} + \widehat {bFE} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía) Suy ra \(\widehat {IEF} + \widehat {IFE} = \frac{{\widehat {aEF} + \widehat {bFE}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \). Xét ∆IEF có  \(\widehat {EIF} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{\rm{IEF}}} + \widehat {IFE}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ .\)(tổng ba góc của một tam giác). Suy ra Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I. b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c. Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1) Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2) Từ (1) và (2) ta có IA = IB. Vậy IA = IB.