Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) (hình 4)

 

a) Tìm các cặp góc có tổng số đo bằng 90°. b) Cho \(\hat C = 40^\circ \). Tính số đo các góc \(\hat B,\widehat {BDA},\widehat {DAC}.\)

c) Chứng minh: \(\widehat {BAH} = \hat C,\widehat {CAH} = \hat B,\widehat {BAD} = \widehat {BDA}.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆ABC vuông tại A ta có:\(\hat B + \hat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).Xét ∆ABH vuông tại H ta có:\(\hat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).Xét ∆ACH vuông tại H ta có:\(\hat C + \widehat {CAH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).Xét ∆ADH vuông tại H ta có:\(\widehat {A{\rm{D}}H} + \widehat {DAH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).Ta có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ  = \widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC}\)Vậy các cặp góc có tổng số đo bằng 90° là:\(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {CAH}\); \(\widehat B\) và \(\widehat C\) ; \(\widehat B\) và \(\widehat {BAH}\); \(\widehat C\) và \(\widehat {CAH}\); \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {DAC}\); \(\widehat {HA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}H}\). b) • Do \(\hat B + \hat C = 90^\circ \) (chứng minh câu a) nên \(\hat B = 90^\circ  - \hat C\)Mà \(\hat C = 40^\circ \) nên \(\hat B = 90^\circ  - 40^\circ  = 50^\circ \). • Do \(\hat C + \widehat {CAH} = 90^\circ \)(chứng minh câu a)Nên \(\widehat {CAH} = 90^\circ  - \hat C = 90^\circ  - 40^\circ  = 50^\circ \)Mà AD là tia phân giác của \(\widehat {CAH}\) (giả thiết)Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {DAH} = \frac{{\widehat {CAH}}}{2} = \frac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ \) • Do \(\widehat {A{\rm{D}}H} + \widehat {DAH} = {90^o}\) chứng minh câu a)Nên \(\widehat {ADH} = 90^\circ  - \widehat {DAH} = 90^\circ  - 25^\circ  = 65^\circ \) hay \(\widehat {BDA} = 65^\circ .\)Vậy \(\hat B = 50^\circ ,\widehat {BDA} = 65^\circ ,\widehat {DAC} = 25^\circ .\)c) Vì \(\hat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (chứng minh câu a)Nên \(\widehat {BAH} = 90^\circ  - \hat B = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \).Khi đó \(\hat B = \widehat {CAH}\left( { = 50^\circ } \right)\).Lại có \(\widehat {BAD} + \widehat {DAC} = 90^\circ ;\widehat {A{\rm{D}}H} + \widehat {DAH} = 90^\circ \) (chứng minh câu a) Mà \(\widehat {DAC} = \widehat {DAH}\)suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ADH}\) hay \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}.\) Vậy \(\widehat {BAH} = \hat C,\widehat {CAH} = \hat B,\widehat {BAD} = \widehat {BDA}.\)