Đề bài

Rút gọn biểu thức: a) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\); b) \(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}}  - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}}  - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(7 - \sqrt 7  = \sqrt 7 .\sqrt 7  - \sqrt 7  = \sqrt 7 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)\) nên \(\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} =  - \sqrt 7 \) Tương tự, \(\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} = \sqrt 7 \). Do đó \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right) \\= \left( { - \sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right) \\= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} =  - 4\) b) Áp dụng quy tắc khai căn một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta có \(\sqrt {\frac{{27}}{{16}}}  = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\;\sqrt {\frac{{49}}{3}}  = \frac{7}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {\frac{{48}}{{243}}}  = \frac{{4\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{4}{9}\). Do đó \(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}}  - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}}  - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \\ = \frac{{28}}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} - 3.\frac{7}{{\sqrt 3 }} - \frac{9}{4}.\frac{4}{9} =  - 1\)