Đề bài

Cho một lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng lục giác đều có diện tích \(6\sqrt 3 c{m^2}\), hãy tính độ dài cạnh của hình vuông đã cho.

Lời giải chi tiết

Lục giác đều là hợp của 6 tam giác đều cạnh a, mỗi tam giác có chiều cao \(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\). Vì diện tích của lục giác đều là \(6\sqrt 3 c{m^2}\) nên ta có: \(6\sqrt 3  = 6.\frac{{ah}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}\) hay \(a = 2\left( {cm} \right)\). Đường tròn ngoại tiếp lục giác đều này có bán kính \(R = a = 2\left( {cm} \right)\). Do bán kính đường tròn này bằng một nửa đường chéo của hình vuông, nên hình vuông có đường chéo bằng 4cm. Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông. Theo định lí Pythagore, ta có: \({b^2} + {b^2} = {4^2} = 16\), hay \(b = 2\sqrt 2 \left( {cm} \right)\).