Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(AH = 2OM\).

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC. Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là phân giác của góc AOC. Vậy \(\widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}\). Suy ra \(\widehat {NAO} = {90^o} - \widehat {AON} = {90^o} - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}\). Tương tự \(\widehat {MCO} = {90^o} - \widehat {MOC} = \widehat {DCA}\).  Hai tam giác NAO và DAH có: \(\widehat {NAO} = \widehat {DAH}\) (chứng minh trên), \(\widehat {ANO} = \widehat {ADH} = {90^o}\). Do đó, $\Delta NAO\backsim \Delta DAH\left( g.g \right)$. Suy ra \(\frac{{AO}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{DA}}\), hay \(AH = \frac{{AO.DA}}{{AN}} = \frac{{2AO.DA}}{{AC}}.\left( 1 \right)\) Hai tam giác OMC và ADC có: \(\widehat {MCO} = \widehat {DCA}\) (chứng minh trên), \(\widehat {OMC} = \widehat {ADC} = {90^o}\). Do đó, $\Delta OMC\backsim \Delta ADC\left( g.g \right)$. Suy ra \(\frac{{OM}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{AC}}\). Do đó \(2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.DA}}{{AC}} = AH\) (theo (1)).