Đề bài

ౠCho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b) Tam giác DMC là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat {xOz} = \widehat {zOy}\)Xét ∆OAM và ∆OBM có\(\widehat {OAM} = \widehat {OBM}\left( { = 90^\circ } \right)\)OM là cạnh chung,\(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) (do \(\widehat {xOz} = \widehat {zOy}\))Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.Vậy OM là đường trung trực của AB.b) Xét ∆ADM và ∆BCM có\(\widehat {DAM} = \widehat {CBM}\left( { = 90^\circ } \right)\),AM = BM (chứng minh câu a),\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).Do đó tam giác CDM cân tại M.Vậy tam giác DMC cân tại M.