Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\hat C = 30^\circ \)ಌ. Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:

a) BM là tia phân giác của góc ABC;

b) MA < MC.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \hat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ  - \hat C = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC. Do đó tam giác MBC cân ở M. Suy ra \({\hat B_1} = \hat C = 30^\circ \) Mặt khác \({\hat B_1} + {\hat B_2} = \widehat {ABC} = 60^\circ \) (hai góc kề nhau) Nên \({\hat B_2} = \widehat {ABC} - {\hat B_1} = 60^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ \) Suy ra \({\hat B_2} = {\hat B_1}\) Do đó BM là tia phân giác của góc ABC. Vậy BM là tia phân giác của góc ABC. b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất). Mà MB = MC (chứng minh câu a). Suy ra MA < MC. Vậy MA < MC.