Đề bài

🏅Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:

a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;

🔯b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Lời giải chi tiết

 

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên). Suy ra A thuộc đường trung trực của BC. Lại có M là trung điểm của BC. Nên AM là đường trung trực của BC. Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC. b) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\hat B = \hat C\) (hai góc ở đáy). Xét ∆EBM và ∆FCM có: \(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\) BM = CM (do M là trung điểm của BC), \(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên) Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng). Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1) Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC. Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF. Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2) Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF. Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.