Đề bài

Hai anh em Hùng và Nam được mẹ giao nhiệm vụ dọn nhà. Nếu cả hai anh em cùng làm thì mất \(2\frac{2}{5}\) giờ để dọn xong nhà. Nếu làm một mình thì tổng cộng thời gian của cả hai anh em để dọn xong là 10 giờ. Hỏi mỗi người cần bao nhiêu thời gian để dọng xong nhà khi làm một mình? (Biết rằng Hùng làm nhanh hơn Nam).

Lời giải chi tiết

Gọi x (giờ) là thời gian Hùng cần để dọn xong nhà khi làm một mình. Điều kiện: \(0 < x < 5\). Thời gian Nam cần để dọn xong nhà khi làm một mình là \(10 - x\) (giờ). Ta coi việc dọn nhà mà Hùng và Nam phải làm xong là 1 (công việc). Trong một giờ, Hùng làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc). Trong một giờ, Nam làm được \(\frac{1}{{10 - x}}\) (công việc). Trong một giờ, Nam và Hùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{10 - x}}\) (công việc). Vì cả hai anh em cùng làm thì mất \(2\frac{2}{5} = \frac{{12}}{5}\) giờ để dọn xong nhà nên trong một giờ cả hai anh em làm được \(1:\frac{{12}}{5} = \frac{5}{{12}}\) (công việc). Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{10 - x}} = \frac{5}{{12}}\) Nhân hai vế của phương trình này với \(12x\left( {10 - x} \right)\) để khử mẫu ta được \(12\left( {10 - x} \right) + 12x = 5x\left( {10 - x} \right)\) \(5{x^2} - 50x + 120 = 0\) \({x^2} - 10x + 24 = 0\) Vì \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.24 = 1\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 1 }}{1} = 6\) (loại), \({x_2} = \frac{{5 - \sqrt 1 }}{1} = 4\) (thỏa mãn). Vậy Hùng cần 4 giờ, Nam cần 6 giờ để dọn xong nhà khi làm một mình.