Đề bài

♔Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat {BAC} = {45^o}\) và có các đỉnh nằm trên đường tròn (O). Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) tại D, E. Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Ta có \(BH \bot AC\) nên tam giác ABH vuông tại H. Mà \(\widehat {BAH} = {45^o}\) nên \(\widehat {ABH} = {45^o}\). Mặt khác \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\overset\frown{AD}\)) nên \(\widehat {ACD} = {45^o}\)   (1) Ta có \(CK \bot AB\) nên tam giác ACK vuông tại K. Mà \(\widehat {CAK} = {45^o}\) nên \(\widehat {ACK} = {45^o}\)   (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DCE} = {90^o}\) nên DE là đường kính. Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.