Đề bài

Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO\(\left( {M \in OP} \right)\), IN//PO \(\left( {N \in QO} \right)\). Chứng minh: a) Tam giác IMN cân tại I. b) OI là đường trung trực của MN.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OPQ có: \(IP = IQ\), IM//QO nên \(MO = MP\)Tam giác OPQ có: \(IP = IQ\), \(MO = MP\) nên IM là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra \(IM = \frac{1}{2}QO\)Tương tự ta có: \(IN = \frac{1}{2}PO\).Mà \(PO = QO\) (do tam giác POQ cân tại O) nên \(IM = IN\), suy ra tam giác IMN cân tại I.b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.Tam giác OPQ có: \(MO = MP\), \(NO = NQ\) nên MN là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra MN//PQ (1).Tam giác OPQ cân tại O có OI là đường trung tuyến nên OI cũng là đường cao của tam giác OPQ.Suy ra: \(OI \bot PQ\) (2)Từ (1) và (2) suy ra: \(MN \bot OI\) tại K hay \(MN \bot IK\)Mà tam giác IMN cân tại I nên IK là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN.