Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM \(\left( {M \in BC} \right)\). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh: a) \(EF = FB\); b) \(AE = \frac{1}{3}AB\); c) \(CE = 4EI\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác BCE có: \(MB = MC\), MF//CE nên \(EF = FB\)b) Tam giác AFM có: \(AI = IM\), EI//FM nên \(AE = EF\)Do đó, \(AE = EF = FB\). Vậy \(AE = \frac{1}{3}AB\)c) Tam giác BCE có: \(MB = MC\), \(EF = FB\) nên MF là đường trung bình của tam giác. Do đó, \(CE = 2MF\).Tam giác AFM có: \(AI = IM\), \(AE = EF\) nên IE là đường trung bình của tam giác AMF. Do đó, \(MF = 2EI.\)Vậy \(CE = 4EI\)