Đề bài

Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có tia phân giác của góc M, N cắt nhau tại I\( \Rightarrow \) I là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác AMN\( \Rightarrow \) AI là phân giác của góc A\( \Rightarrow \) \(\widehat {IAN} = \widehat {IAM} = {45^o}\)(góc A vuông)Xét tam giác ATR có \(\widehat {IAN} = {45^o}\) và \(\widehat {ATR} = {90^o}\) theo định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác\( \Rightarrow \widehat {IAN} + \widehat {ATR} + \widehat {TRA} = {180^o} \Rightarrow \widehat {TRA} = {180^o} - {90^o} - {45^o} = {45^o}\)\( \Rightarrow \Delta ATR \) vuông cân tại T ( tam giác có 2 góc ở đáy = 45 độ )\( \Rightarrow AT = TR\)