Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {90^o}\) và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Suy ra AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD. Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay \(\widehat {AHO} = {90^o}\) Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay \(\widehat {AK{\rm{O}}} = {90^o}\). Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {AHO} + \widehat {AK{\rm{O}}} + \widehat {HOK} = {360^o}\) 90°+90°+90°+\(\widehat {HOK}\)=360° 270°+\(\widehat {HOK}\)=360° Suy ra \(\widehat {HOK}\)=360°−270°=90°

Tứ giác AHOK có \(\widehat {BA{\rm{D}}}\)=90°;ˆAHO=90°; \(\widehat {AHO}\)=90°;\(\widehat {AK{\rm{O}}}\)=90^o

Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.