Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng \(BN = CM;BN \bot CM.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta ANB\) có: \(BC = AB\\BM = AN\\\widehat B = \widehat A = {90^\circ}\) Do đó \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {c - g - c} \right)\) \(MC = NB\) (2 cạnh tương ứng) Gọi E là giao điểm của BN và CM. Vì \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {cmt} \right) \) nên \(\widehat {CMB} = \widehat {BNA}\), \(\widehat {BCM} = \widehat {ABN}\) (2 góc tương ứng) (1) Theo định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có: \(\widehat {BEM}+ \widehat {EMB} + \widehat {EBM}=180^\circ (2)\\\widehat {NAB}+\widehat {BNA}+\widehat {NBA}=180^\circ (3)\) Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {BEM} = \widehat {NAB}\) Mà \(\widehat {NAB} = {90^\circ}\) nên \(\widehat {BEM} = {90^\circ}\) suy ra \(BN \bot CM\)