Đề bài

Cho 4 điểm A, B, C, D như hình 4.40 trong đó AB = DC. Chứng minh rằng: a) AC = BD b) \(AD\parallel BC\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCB\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = {90^0}\) AB = DC (gt) BC: Cạnh chung Vậy \(\Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)\) Do đó \(AC = DB\) (2 cạnh tương ứng) b) Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DCB\left( {cmt} \right) \) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\) (cặp góc tương ứng) Lại có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} - \widehat {DBC}\) \(\widehat {DCA} = \widehat {DCB} - \widehat {ACB}\) Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\)  Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có: BA = CD (gt) BD = CA \(\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\left( {cmt} \right)\) Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\) Do đó \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC}\) (2 góc tương ứng) Nếu gọi E là giao điểm của AC và BD thì ta có: \(\widehat {ADB} = \dfrac{{\widehat {ADB} + \widehat {DAC}}}{2} \) \(= \dfrac{{\widehat {ADE} + \widehat {DAE}}}{2}\) \(= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AED}}}{2} \) \(= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BEC}}}{2}\) \(= \dfrac{{\widehat {EBC} + \widehat {ECB}}}{2} \) \(= \dfrac{{\widehat {ACB} + \widehat {DBC}}}{2} \) \(= \widehat {DBC}\) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên \(AD// BC\). (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)