Đề bài

Cho 4 điểm A, B, C, D như hình 4.40 trong đó AB = DC. Chứng minh rằng: a) AC = BD b) \(AD\parallel BC\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCB\) có:\(\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = {90^0}\)AB = DC (gt)BC: Cạnh chung\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)\)\(\Rightarrow AC = DB\) (2 cạnh tương ứng)b)Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DCB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\\\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\end{array} \right.\) ( cặp góc tương ứng)Lại có:\(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} - \widehat {DBC}\\\widehat {DCA} = \widehat {DCB} - \widehat {ACB}\)\(\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DCA}\) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:BA = CD (gt)BD = CA\(\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\left( {cmt} \right)\)\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)\(\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {DAC}\) (2 góc tương ứng)Nếu gọi E là giao điểm của AC và BD thì ta có:\(\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \dfrac{{\widehat {ADB} + \widehat {DAC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ADE} + \widehat {DAE}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AED}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BEC}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\widehat {EBC} + \widehat {ECB}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ACB} + \widehat {DBC}}}{2} = \widehat {DBC}\end{array}\) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Nên \(AD// BC\). ( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)