Đề bài

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có: \(OA = OC\) \(OB = OD\) \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh) Do đó \(\Delta OAB = \Delta OCD\left( {c - g - c} \right)\) Suy ra AB = DC, \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) (cạnh tương ứng và góc tương ứng) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Nên \(AB\parallel CD\) Tương tự: \(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right) \) Suy ra AD = BC, \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) (cạnh tương ứng và góc tương ứng) Do đó \(AD\parallel BC\) Vì vậy tứ giác ABCD là hình bình hành. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta DCA\) có: AB = DC BD = AC AD: Cạnh chung Do đó \(\Delta ABD = \Delta DCA\left( {c - c - c} \right)\) Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {CDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^\circ}}}{2} = {90^\circ}\) Vậy hình bình hành ABCD có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.