Đề bài

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng: a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. b) \(\Delta ACD = \Delta CAB\) c) AD song song với BC. 

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABE, ta có: \(\widehat B +\widehat A + \widehat {AEB}=180^0\) Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác DCE, ta có: \(\widehat D + \widehat C+ \widehat {DEC}=180^0\) Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat{A}=\widehat{C}\) \( \Rightarrow \widehat B = \widehat D\) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CDE\) có: AB = CD (gt) \(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C\left( {gt} \right)\\\widehat B = \widehat D\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDE\left( {g - c - g} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE = CE\\BE = DE\end{array} \right.\) (cặp cạnh tương ứng) Vậy E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. b)

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta CAB\) có: AC: Cạnh chung \(\widehat {ACD} = \widehat {CAB}\)(gt) CD = AB (gt) \( \Rightarrow \Delta ACD = \Delta CAB\left( {c - g - c} \right)\) c) Ta có: \(\Delta ACD = \Delta CAB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {ACB}\)(2 góc tương ứng) Mà 2 góc ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AD// BC\) (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song).