Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\hat A = 90^\circ \), M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

 

Lời giải chi tiết

Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BCN}\) (hai góc so le trong).Ta có BA ⊥ AC, d // AB.Suy ra d ⊥ AC hay \(\widehat {NCA} = 90^\circ \)Xét ∆MBA và ∆MCN có:BM = CM (vì M là trung điểm của BC),\({\hat M_1} = {\hat M_2}\) (hai góc đối đỉnh),\(\widehat {ABC} = \widehat {NCB}\) (chứng minh trên)Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).Xét ∆BAC và ∆NCA có:AC là cạnh chung,

\(\widehat {BAC} = \widehat {NCA}\) (cùng bằng 90^o),

AB = NC (chứng minh trên)Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.Nên BC = AN = 2AM.Vậy 2AM = BC.