Đề bài

 Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.

Lời giải chi tiết

 

Xét ∆ABD và ∆ACD có:AB = AC (giả thiết),BD = CD (do D là trung điểm của BC),AD là cạnh chungDo đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) hay \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\).Xét ∆BMC và ∆CNB có:\(\widehat {BMC} = \widehat {CNB}\left( { = 90^\circ } \right)\)BC là cạnh chung,\(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (chứng minh trên),Do đó ∆BMC và ∆CNB (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.Mà AB = AC, BM = CN.Suy ra AM = AN.Vậy AM = AN.