Đề bài

Cho Hình 32 có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \), AH vuông góc với BC tại H, \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\)🌟 , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

 

Lời giải chi tiết

a) •Ta có \(\widehat {xAy} = \widehat {xAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAy}\) Hay \(180^\circ  = \widehat {xAB} + 90^\circ  + \widehat {CAy}\) Suy ra \(\widehat {CAy} = 90^\circ  - \widehat {xAB}\) •Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) Nên \(\widehat {CAH} = 90^\circ  - \widehat {BAH}\) Mà \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\) (giả thiết) Suy ra \(\widehat {CAH} = \widehat {CAy}\) Do đó AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\) Vậy AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\) . b) • Xét ∆ABD và ∆ABH có: \(\widehat {ADB} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)\) AB là cạnh chung, \(\widehat {DAB} = \widehat {HAB}\) (giả thiết), Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng). • Xét ∆ACE và ∆ACH có: \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\) AC là cạnh chung, \(\widehat {CAH} = \widehat {CAE}\) (chứng minh câu a), Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng). •Ta có BC = BH + CH Mà BD = BH, CE = CH. Do đó BC = BD + CE. Vậy BC = BD + CE. c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC. • Xét ∆ADI và ∆AHI có: AD = AH (chứng minh câu b), \(\widehat {DAI} = \widehat {HAI}\) (do \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\)), AI là cạnh chung. Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c). Suy ra \(\widehat {ADI} = \widehat {AHI}\) (hai góc tương ứng). Hay \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\). • Xét ∆AHK và ∆AEK có: AH = AE (chứng minh câu b), \(\widehat {HAK} = \widehat {EAK}\) (do \(\widehat {HAC} = \widehat {EAC}\)), AK là cạnh chung Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c) Suy ra \(\widehat {AHK} = \widehat {AEK}\) (hai góc tương ứng). Hay \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\). Xét ∆ADH có: \(\widehat {ADH} + \widehat {AHD} + \widehat {HAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác). Mà \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2}\)  Xét ∆AEH có: \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác) Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\) nên \(\widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2}\) Ta có \(\widehat {DHE} = \widehat {AHD} + \widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2} + \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2} = \frac{{{{360}^o} - \left( {\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HA{\rm{E}}}} \right)}}{2} = \frac{{{{360}^o} - {{180}^o}}}{2} = {90^o}\) Suy ra DH vuông góc với  HE. Vậy DH vuông góc với  HE.