Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác BFC và tam giác CEB có: BC chung FC = BE \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\) \(\Delta BFC = \Delta CEB\) ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat C = \widehat B\) (2 góc tương ứng) (1) Xét tam giác CFA và tam giác ADC ta có: CF = AD AC chung \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = {90^o}\) \(\Delta CFA = \Delta ADC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat C = \widehat A\) (2 góc tương ứng) (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat C = \widehat A = \widehat B\) \( \Rightarrow \) Tam giác ABC là tam giác đều do có 3 góc bằng nhau