Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng: a) DE vuông góc với BC b) BE vuông góc với DC

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A \( \Rightarrow \) \(\widehat B = \widehat C = {45^o}\)(2 góc ở đáy bằng nhau) Xét tam giác AED có : AE = AD AC vuông góc với AB \( \Rightarrow \) Tam giác AED vuông cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AED} = {45^o}\) Mà \(\widehat {AED};\widehat {CEF}\)là 2 góc đối đỉnh \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {CEF} = {45^o}\) Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có : \( \Rightarrow \widehat F + \widehat C + \widehat E = {180^o}\) \( \Rightarrow \widehat F = {180^o} - {45^o} - {45^o} = {90^o} \Rightarrow EF \bot BC \Rightarrow DE \bot BC\) b) Vì DE vuông góc với BC \( \Rightarrow \) DE là đường cao của tam giác BCD Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD) \( \Rightarrow \)BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm) \( \Rightarrow \)BE vuông góc với DC