Đề bài

Cho đường tròn (O; 1dm) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho \(\widehat {ABC} = 45^\circ \), \(\widehat {ACB} = 15^\circ \). Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính: a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC; b) Độ dài các đoạn thẳng AC, BC.

Lời giải chi tiết

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, suy ra \(\widehat {BMO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \). a) Xét tam giác HAC vuông tại H có \(\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HAC} = 90^\circ  - \widehat {ACH} = 90^\circ  - 15^\circ  = 75^\circ \) Mặt khác, \(\widehat {HAC}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ EC nên số đo cung nhỏ EC là \(2.\widehat {HAC} = 2.75^\circ  = 150^\circ \). Xét tam giác ABC có \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) \\= 180^\circ  - \left( {45^\circ  - 15^\circ } \right) \\= 120^\circ \) mà \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung lớn BC nên số đo cung lớn BC là \(2.\widehat {BAC} = 2.120^\circ  = 240^\circ \). b) Ta có góc ABC nội tiếp chắn cung AC của (O), mà \(\widehat {ABC} = 45^\circ \) nên số đo cung AC là \(2.\widehat {ABC} = 2.45^\circ  = 90^\circ \). Do đó góc ở tâm chắn cung AC là góc AOC có số đo bằng \(90^\circ \). Xét tam giác OAC có \(OA = OC = 1\)dm (cùng bằng bán kính (O)), \(\widehat {AOC} = 90^\circ \) suy ra tam giác OAC vuông cân tại O, do đó \(CA = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} \) (Định lí Pythagore) hay \(CA = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)dm. Xét 2 tam giác OBM và OCM có \(OB = OC\) (cùng bằng bán kính (O)) OM chung \(\widehat {BMO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \) Suy ra \(\Delta OBM = \Delta OCM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông), do đó \(BM = CM = \frac{{BC}}{2}\). Ta có \(\Delta OAC\) vuông cân nên \(\widehat {OCA} = 45^\circ \). Ta lại có \(\widehat {OCM} = \widehat {OCA} - \widehat {ACB} = 45^\circ  - 15^\circ  = 30^\circ \) Mặt khác, tam giác OCM vuông tại M nên \(CM = OC.\cos \widehat {OCM} = 1.\cos 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)dm. Vậy \(BC = 2CM = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)dm.