Đề bài

Một chiếc cầu được thiết kế như một cung AB của đường tròn (O) với độ dài AB = 40m và chiều cao MK = 6m (Hình 35). Tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải chi tiết

Bài toán được minh họa như hình trên. Kẻ đường kính MN của (O;R), suy ra \(O \in MN\). Ta có \(AK = KB,MK \bot AB\) nên MK là đường trung trực của AB. Có \(OA = OB = R\) nên O thuộc đường trung trực của AB. Suy ra MO hay MN là đường trung trực của AB. Do K là trung điểm của AN nên \(AK = KB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\)m. Xét tam giác AKM và tam giác NKB ta có: \(\widehat {AKM} = \widehat {BKN} = 90^\circ \) \(\widehat {MAK} = \widehat {MNB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O)) Suy ra \(\Delta AKM\backsim \Delta NKB(g.g)\), do đó \(\frac{{AK}}{{NK}} = \frac{{MK}}{{BK}}\), hay \(NK = \frac{{AK.BK}}{{MK}} = \frac{{20.20}}{6} = \frac{{200}}{3}\)m. Ta có \(MN = 2R = MK + NK = 6 + \frac{{200}}{3} = \frac{{213}}{3}\)m, do đó \(OM = R = \frac{{213}}{3}:2 \approx 36,3\)m. Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB khoảng 36,3m.