Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Chứng minh: \(MN \le \frac{{AB + DC}}{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải chi tiết

Lấy \(I\) là trung điểm của \(BD\). Khi đó, ta có \(MI,NI\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BDC\) nên \(MI = \frac{{AB}}{2},NI = \frac{{CD}}{2}\).Do đó \(MI + NI = \frac{{AB + CD}}{2}\) (1)-         Nếu \(I\) không thuộc \(MN\) ta có \(MN < MI + NI\) (bất đẳng thức tam giác).-         Nếu \(I\) thuộc \(MN\) ta có \(MN = MI + NI\).Tức là, ta luôn có \(MN \le MI + NI\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(MN \le \frac{{AB + CD}}{2}\).Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\) thuộc \(MN\), khi đó \(AB//CD\).