Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(CH\) vuông góc với \(BD\left( {H \in BD} \right)\). Gọi \(I,K,M\) lần lượt là trung điểm của \(BH,CH,AD\). Chứng minh: a)      Tứ giác \(IKDM\) là hình bình hành; b)     Gọi \(N\) là giao điểm của \(IM\) và \(AH\). Hỏi \(IN\) có thể là đường trung bình của tam giác \(HAB\) không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a)      \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(BH,CH\) nên \(IK = \frac{{BC}}{2},IK//BC\). Vì \(IK//BC\) và \(MD//BC\) nên \(IK//MD\) (1). Vì \(IK = \frac{{BC}}{2},MD = \frac{{BC}}{2}\) nên \(IK = MD\) (2).Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(IKDM\) là hình bình hành.b)     Nếu \(IN\) là đường trung bình của tam giác \(HAB\) thì \(IN//AB\). Suy ra \(IM//AB\). Mà \(MA = MD\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(BD\) (3). Mặt khác theo giả thiết, \(I\) là trung điểm của \(HB\) (4). Từ (3) và (4) suy ra vô lí. Vậy \(IN\) không thể là đường trung bình của tam giác \(HAB\).