Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AD = BC\). Đường thẳng đi qua trung điểm \(M\) và \(N\) lần lượt của các cạnh \(AB\) và \(CD\) cắt các đường thẳng \(AD\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh: \(\widehat {AEM} = \widehat {MFB}\).

Lời giải chi tiết

Lấy \(I\) là trung điểm của \(BD\). Do \(MI.NI\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BDC\) nên \(MI = \frac{{AD}}{2}\), \(MI//AD,NI = \frac{{BC}}{2};NI//BC\). Mà \(AD = BC\) nên \(MI = NI\), suy ra tam giác \(IMN\) cân ở \(I\).Do đó \(\widehat {IMN} = \widehat {INM}\). Lại có \(\widehat {IMN} = \widehat {AEM}\) (hai góc đồng vị, \(IM//AE\)). Suy ra \(\widehat {INM} = \widehat {AEM}\). Mặt khác \(\widehat {INM} = \widehat {MDB}\) (hai góc so le trong, \(IN//FB\)). Suy ra \(\widehat {AEM} = \widehat {MFB}\).