Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;9} \right]\); b) \(y =  - 2{x^3} + 9{x^2} - 17\) trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\); c) \(y = {x^3} - 12x + 4\) trên đoạn \(\left[ { - 6;3} \right]\); d) \(y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\); e) \(y =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;9} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} - 12\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\) hoặc \(x =  - \frac{2}{3}\). \(f\left( { - 2} \right) =  - 15;f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}};f\left( 6 \right) =  - 143;f\left( 9 \right) =  - 26\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) =  - 143\). b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 9{x^2} - 17\) trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 6{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\). Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 17\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\). c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 4\) trên đoạn \(\left[ { - 6;3} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 12\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 2\). \(f\left( { - 6} \right) =  - 140;f\left( { - 2} \right) = 20;f\left( 2 \right) =  - 12;f\left( 3 \right) =  - 5\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 20,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 6} \right) =  - 140\). d) Xét hàm số \(y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 28\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\) (loại) hoặc \(x =  - 2\). \(f\left( { - 2} \right) = 33;f\left( 1 \right) =  - 30\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 33,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 30\). e) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\). Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 9{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 5 =  - 9{\left( {x - \frac{4}{9}} \right)^2} - \frac{{29}}{9} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\) \(f\left( { - 1} \right) =  - 5;f\left( 2 \right) =  - 35\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) =  - 5,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =  - 35\).