Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn. b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD). c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K (K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh \(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có tam giác BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1) Tam giác BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC. b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD \( \bot \)AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Ta có \(\Delta BHD\backsim \Delta BDC\)(g.g), suy ra BD² = BH.BC.

Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B;BD)) nên BK² = BH.BC.

Suy ra \(\Delta BHK\backsim \Delta BKC\)(c.g.c), do đó \(\widehat {BKH} = \widehat {BCK}\) Mà \(\widehat {BMH} = \widehat {BCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) nên\(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}\).