Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 2\); b) \(y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Ta có \(y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 2} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}\); \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).