Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = x\sqrt {4 - {x^2}} , - 2 \le x \le 2\);                                b) \(f\left( x \right) = x - \cos x, - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {4 - {x^2}}  - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) . Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2} \right) \cdot \sqrt {4 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 0;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 2 \cdot \sqrt {4 - {2^2}}  = 0\); \(f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \sqrt {4 - {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}  =  - 2;{\rm{ }}f\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2  \cdot \sqrt {4 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2\). Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\). b) Ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \sin x\). Ta thấy \(0 < \sin x < 1{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) suy ra \(\sin x + 1 \ne 0\)\(\forall {\rm{x}} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Do đó, trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) vô nghiệm. Ta có: \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2} - \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2};{\rm{ }}f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \cos \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2}\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).