Đề bài

Lợi nhuận thu được \(P\) của một công ty khi dùng số tiền \(s\) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức \(P = P\left( s \right) =  - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\). Ở đây các số tiền được được tính bằng đơn vị nghìn USD. a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa. b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(P\left( s \right) =  - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\), ta cần tìm \(s \ge 0\) để \(P\left( s \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có: \(P'\left( s \right) =  - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s\). Khi đó \(P' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s = 0 \Leftrightarrow s = 0\) hoặc \(s = 40\). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} P\left( s \right) = P\left( {40} \right) = 3600\). Vậy để mang lại lợi nhuận tối đa, số tiền công ty phải chi trả cho quảng cáo là \(40\) nghìn USD. b) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(P\left( s \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;40} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {40; + \infty } \right)\), do đó: + Lợi nhuận công ty tăng dần khi số tiền chi cho quảng cáo tăng từ \(0\) đến \(40\) nghìn USD. + Lợi nhuận công ty giảm dần khi số tiền chi cho quảng cáo lớn hơn \(40\) nghìn USD và khi đó càng tăng tiền quảng cáo thì lợi nhuận càng giảm.