Đề bài

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}\) hay không.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {{x_1};{x_8}} \right]\). Từ đồ thị ta có: + \(f\left( x \right) \le f\left( {{x_8}} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) và \({x_8} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {{x_8}} \right)\). Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \({x_8}\). + \(f\left( x \right) \ge f\left( {{x_7}} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) và \({x_7} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {{x_7}} \right)\). Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \({x_7}\). Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {{x_1};{x_8}} \right]\). + Gọi \({h_1} = \frac{{{x_5} - {x_4}}}{2}\) , ta thấy \({h_1}\) dương. Vì \(f\left( x \right) > f\left( {{x_4}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_4} - {h_1};{x_4} + {h_1}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) và \(x \ne {x_4}\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_4}\). + Tương tự, gọi \({h_2} = \frac{{{x_8} - {x_7}}}{2}\) , ta thấy \({h_2}\) dương. Vì \(f\left( x \right) > f\left( {{x_7}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_7} - {h_2};{x_7} + {h_2}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) và \(x \ne {x_7}\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_7}\). + Gọi \({h_3} = \frac{{{x_6} - {x_5}}}{2}\) , ta thấy \({h_3}\) dương. Vì \(f\left( x \right) < f\left( {{x_6}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_6} - {h_3};{x_6} + {h_3}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]\) và \(x \ne {x_6}\) nên hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_6}\).