Đề bài

Cho bình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh: a) \(\Delta IAM = \Delta ICN\) b) Tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác IAM ta có: \(\widehat {AMI} + \widehat {MIA} + \widehat {MAI} = {180^o}\) Xét tam giác ICN có: \(\widehat {CNI} + \widehat {NIC} + \widehat {NCI} = {180^o}\) Vì: \(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\) (đối đỉnh) \(\widehat {MAI} = \widehat {NCI}\) (do AB // CD) Suy ra: \(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\) Xét tam giác IAM  và tam giác ICN có: \(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\) AM = CN \(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\) Suy ra \(\Delta IAM = \Delta ICN(g - c - g)\) b) Ta có: AM = CN (gt) AM // CN (vì M \( \in\) AB, N \( \in\) CD) Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành Suy ra I là trung điểm của AC Suy ra I là trung điểm của BD (vì ABCD là hình bình hành) Suy ra ba điểm B, I, D thẳng hàng.