Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: AM = BN = CP = DQ (gt) AB = BC = CD = DA (ABCD là hình vuông) \(\Rightarrow\) BM = CN = DP = AQ \(\Rightarrow \Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP\)(hai cạnh góc vuông) Suy ra QM = MN = NP = PQ Suy ra MNPQ là hình thoi Do: \(\Delta AMQ = \Delta BNM \Rightarrow {\widehat M_1} = \widehat {BNM}\) (2 góc tương ứng) Mà: \(\widehat {BNM} + {\widehat M_3} = {90^0}\)(do \(\Delta BNM\)vuông tại B) \( \Rightarrow {\widehat M_1} + {\widehat M_3} = {90^0} \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - {\widehat M_1} - {\widehat M_3} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

Vậy hình thoi MNPQ có một góc bằng 90^o nên MNPQ là hình vuông