Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rẳng \(\Delta BFC = \Delta CEB\) b) Chứng minh rằng \(\Delta AEH = \Delta AFH\) c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta CEB\) có:BC là cạnh chung\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân tại A)\(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = {90^o}\)\( \Rightarrow \Delta BFC = \Delta CEB\)(cạnh huyền – góc nhọn )b) Vì \(\Delta BFC = \Delta CEB \Rightarrow \) BF = EC (2 cạnh tương ứng)Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)\( \Rightarrow \) AF = AE (AB – BF = AC – EC )Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\)ta có :AF = AE (chứng minh trên)AH cạnh chung\(\widehat {HFA} = \widehat {HEA} = {90^o}\)\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng\( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC\( \Rightarrow \) AH vuông góc với BC (1)Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta AIB\) có :IB = IC (I là trung điểm BC)AI là cạnh chungAB = AC ( tam giác ABC cân tại A)\( \Rightarrow \Delta AIC = \Delta AIB(c - c - c)\)\( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB}\) (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù \( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB} = {90^o}\)\( \Rightarrow AI \bot BC\) (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, I thẳng hàng.