Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\) b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải chi tiết

a)      Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\) (góc tương ứng) Mà \(\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}\) và \(\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}\) \( \Rightarrow \)\(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\) b)      Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC) \( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {KMN}\) (2 góc so le trong) Mà \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)( chứng minh a) \( \Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {AKM}\) (do cùng =\(\widehat {BMN}\)) Xét \(\Delta MIA\) và \(\Delta MIK\) có : IM cạnh chung \(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\) \(\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}\) \( \Rightarrow \Delta MIA = \Delta MIK\) (cạnh góc vuông-góc nhọn) \( \Rightarrow \)AI = IK (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \) I là trung điểm AK