Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC, AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)(D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC. a) Chứng minh rằng DE = DB b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK. c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH\( \bot \)KC. 

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta \)BAD và \(\Delta \)EAD có : AD là cạnh chung AB = AE =\(\dfrac{1}{2}\)AC \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)(do AD là phân giác góc A) \( \Rightarrow \Delta BAD = \Delta EAD\)(c-g-c) \( \Rightarrow \)DE = DB (cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(góc tương ứng) b) Xét \(\Delta \)KAE và \(\Delta \)CAB có : AE = AB \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(chứng minh a) Góc A chung \( \Rightarrow \Delta KAE = \Delta CAB\)(g-c-g) \( \Rightarrow \)KE = CB (cạnh tương ứng) Mà KE = ED + DK và CB = BD + DC \( \Rightarrow \)KE – ED = CB – BD \( \Rightarrow \)DK = DC \( \Rightarrow \)\(\Delta DCK\)cân tại D +) Xét \(\Delta \)KDB và \(\Delta \)CDE có : DB = DE DK = DC \(\widehat {KDB} = \widehat {CDE}\)(2 góc đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta KDB = \Delta CDE\)(c-g-c) \( \Rightarrow \)KB = EC \( \Rightarrow \) KB = AB (do cùng = EC) \( \Rightarrow \)B là trung điểm AK c) Vì \(\Delta KAE\) = \(\Delta CAB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \)AK = AC (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \)\(\Delta \)AKC vuông cân tại A Mà AD là phân giác góc A nên AD sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của \(\Delta \)AKC \( \Rightarrow \)AD\( \bot \)KC \( \Rightarrow \)AH\( \bot \)KC (do H \(in\) AD)