Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác của góc ABC (D thuộc AC). Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, qua điểm C vẽ tia Cx vuông góc với CA và cắt tia BD tại E. Chứng minh chu vi tam giác ADB nhỏ hơn chu vi tam giác CDE.

Lời giải chi tiết

 

∆ABC vuông tại A. Ta có \(AB \bot AC\) tại A => AB < BCTrên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = ABXét ∆MBD và ∆ABD có: \(\widehat {MBD} = \widehat {ABD}\) (BD là đường phân giác)MB = ABBD (cạnh chung)Do đó ∆MBD = ∆ABD (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BMD} = \widehat {BAD} = 90^\circ ,AD = MD\)\(DM \bot BC\) tại M => DM < CD. Nên AD < CDMặt khác\(AB \bot AC,EC \bot AC\)\( \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {CEB} = \widehat {ABD}\) (so le trong)Ta có \(\widehat {CEB} = \widehat {MBD}( = \widehat {ABD)}\) => ∆CBE cân tại C => BC = CENên AB < BC = CE

∆ABD vuông tại A => BD² = AD² + AB² (định lí Pythagore)

∆CDE vuông tại E => DE² = CD² + CE²

Mà AD < CD và AB < CE. Do đó

BD² < DE² => BD < DE

Ta có AD + AB + BD < CD + CE + DEVậy chu vi tam giác ADB nhỏ hơn chu vi tam giác CDE.

ufa999.cc