Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(A{\rm{D}}\). Biết \(AB = CD = 2a\) và \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\). Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BC\) \(P\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow MP\parallel AB,MP = \frac{1}{2}AB = a\) \(N\) là trung điểm của \(A{\rm{D}}\) \(P\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\) \( \Rightarrow NP\parallel C{\rm{D}},NP = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = a\) Ta có: \(MP\parallel AB,NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MP,NP} \right)\) Xét tam giác \(MNP\) có: \(\cos \widehat {MPN} = \frac{{M{P^2} + N{P^2} - M{N^2}}}{{2.MP.NP}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^ \circ }\) Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {180^ \circ } - \widehat {MPN} = {60^ \circ }\).