Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Lời giải chi tiết

 

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).\(M\) là trung điểm của \(AC\)\(N\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)\(M\) là trung điểm của \(AC\)\(P\) là trung điểm của \(AD\)\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Xét tam giác \(MNP\) có:\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).