1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Tính chất

Với biểu thức A bất kì, ta có \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\), nghĩa là \(\sqrt {{A^2}}  = A\) khi \(A \ge 0\); \(\sqrt {{A^2}}  =  - A\) khi \(A < 0\).

Ví dụ: Với \(x < 0ﷺ\), ta có 1 – x > 0. Do đó \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = 1 - x\).

2. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có \(\sqrt A .\sqrt B  = \sqrt {AB} \).

Ví dụ:

\(\sqrt {27} .\sqrt 3  = \sqrt {27.3}  = \sqrt {81}  = 9\)Với \(a \ge 0,b < 0\) thì \(\sqrt {25{a^2}{b^2}}  = \sqrt {{5^2}.{a^2}.{{\left( { - b} \right)}^2}}  = \sqrt {{5^2}} .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2}}  = 5.a.\left( { - b} \right) =  - 5ab\).

Nhận xét: Ta có thể biến đổi \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \) hoặc \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqr🧸t {ab} \) (\(a \ge 0\) và \(b \ge 0\)) để việc tính toán được dễ dàng hơn.

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có \(\sqrt {{a^2}b}  = \left| a \right|\sqrt b \). Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn. Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn. + Nếu \(a \ge 0\) thì \(a\sqrt b  = \sqrt {{a^2}b} \). + Nếu \(a < 0\) thì \(a\sqrt b  =  - \sqrt {{a^2}b} \).

Tổng quát, với hai biểu thức A và B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Ví dụ:

\(\sqrt {75}  = \sqrt {25.3}  = \sqrt {{5^2}.3}  = 5\sqrt 3 \)\(\sqrt {15a} .\sqrt {3a}  = \sqrt {15a.3a}  = \sqrt {{3^2}{a^2}.5}  = \left| {3a} \right|\sqrt 5 \).

2. Căn thức bậc hai của một thương

Tính chất

Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}}  = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\).

Ví dụ: \(\sqrt {\frac{{49}}{{64}}}  = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{7}{8}\);

\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}}  = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);\(\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{8}{2}}  = \sqrt 4  = 2\);Với \(a > 0\) thì \(\frac{{\sqrt {52{a^3}} }}{{\sqrt {13a} }} = \sqrt {\frac{{52{a^3}}}{{13a}}}  = \sqrt {4{a^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}}  = 2a\).

Nhận xét: Ta có thể biến đổi \(\sqrt {\frac{a}{b}}  = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) hoặc \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \sqrt {\frac{a}🔜{b}} \) (\(a \ge 0\) 🍰và \(b > 0\)) để việc tính toán được dễ dàng hơn.